Złoty podział to proporcja uważana za najdoskonalszą i najbardziej harmonijną od czasów starożytnych. Stanowi podstawę wielu starożytnych budowli, od posągów po świątynie i jest bardzo powszechna w przyrodzie. Jednocześnie proporcja ta wyraża się w zaskakująco eleganckich konstrukcjach matematycznych.
Instrukcje
Krok 1
Złotą proporcję definiuje się następująco: jest to taki podział segmentu na dwie części, że mniejsza część odnosi się do większej w taki sam sposób, jak większa część odnosi się do całego segmentu.
Krok 2
Jeżeli długość całego odcinka przyjmiemy jako 1, a długość większej części przyjmiemy jako x, to poszukiwana proporcja będzie wyrażona równaniem:
(1 - x) / x = x / 1.
Mnożąc obie strony proporcji przez x i przenosząc wyrazy, otrzymujemy równanie kwadratowe:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Krok 3
Równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki, z których naturalnie interesuje nas tylko to, co pozytywne. Jest równa (√5 - 1) / 2, co jest w przybliżeniu równe 0,618. Ta liczba wyraża złoty podział. W matematyce jest najczęściej oznaczany literą φ.
Krok 4
Liczba φ ma wiele niezwykłych właściwości matematycznych. Na przykład, nawet z oryginalnego równania widać, że 1 / φ = φ + 1. Rzeczywiście, 1 / (0, 618) = 1,618.
Krok 5
Innym sposobem obliczenia złotego podziału jest użycie nieskończonego ułamka. Zaczynając od dowolnego x, możesz sekwencyjnie skonstruować ułamek:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
itp.
Krok 6
Aby ułatwić obliczenia, ten ułamek można przedstawić jako procedurę iteracyjną, w której do obliczenia następnego kroku należy dodać jeden do wyniku poprzedniego kroku i podzielić go przez wynikową liczbę. Innymi słowy:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Ten proces jest zbieżny, a jego granica to φ + 1.
Krok 7
Jeśli zastąpimy obliczenie odwrotności wyciągnięciem pierwiastka kwadratowego, czyli wykonamy pętlę iteracyjną:
x0 = x
x (n + 1) = (xn + 1), wtedy wynik pozostanie niezmieniony: niezależnie od początkowo wybranego x, iteracje zbiegają się do wartości φ + 1.
Krok 8
Geometrycznie złoty podział można skonstruować za pomocą pięciokąta foremnego. Jeśli narysujemy w nim dwie przecinające się przekątne, to każda z nich podzieli drugą ściśle w złotym stosunku. Ta obserwacja, zgodnie z legendą, należy do Pitagorasa, który był tak zszokowany znalezionym wzorem, że uznał poprawną pięcioramienną gwiazdę (pentagram) za święty boski symbol.
Krok 9
Powody, dla których to złoty podział wydaje się najbardziej harmonijny, są nieznane. Jednak eksperymenty wielokrotnie potwierdziły, że badani, którym polecono podzielić segment na dwie nierówne części, najpiękniej robią to w proporcjach bardzo zbliżonych do złotego podziału.
